P50 i P90 w strzelectwie — co mówią o skupieniu

P50 i P90 w pointMoA to elipsy, a nie okręgi, i aplikacja podaje ich pełne osie, a nie promienie. P50 obejmuje połowę, a P90 dziewięć dziesiątych dopasowanego modelu rozkładu trafień. Obie liczy się z macierzy kowariancji położeń przestrzelin, więc niosą coś, czego nie niesie żadna pojedyncza liczba: rozmiar, kształt i kierunek rozrzutu naraz.

Żadna z nich nie jest pomiarem grupy. Są dopasowaniem modelu do grupy — a to znaczy, że przy pięciu strzałach potrafią solidnie zmylić. Ten artykuł mówi o jednym i o drugim.

Skąd biorą się elipsy

Rachunek ma cztery kroki i żaden nie wymaga niczego poza współrzędnymi przestrzelin.

1. Środek. Średnia arytmetyczna położeń — ten sam środek punktu trafienia serii, który liczy się przy przesunięciu względem punktu celowania.
2. Macierz kowariancji. Trzy liczby: wariancja pozioma σ²ₓ, pionowa σ²ᵧ i kowariancja σₓᵧ, każda dzielona przez n − 1, gdzie n to liczba trafień. Kowariancja mówi, czy odchylenia w poziomie idą w parze z odchyleniami w pionie — to ona przekręca elipsę.
3. Osie. Z tych trzech liczb wychodzą dwa kierunki, w których rozrzut jest największy i najmniejszy, oraz odpowiadające im wariancje. Kierunki są prostopadłe.
4. Skala. Półoś = √(wariancja × q), gdzie q to kwantyl rozkładu chi-kwadrat o dwóch stopniach swobody. Aplikacja podwaja półosie, bo wyświetla pełne osie.

Kwantyle nie są wzięte z tablic — dla dwóch stopni swobody mają postać zamkniętą q = −2·ln(1 − p):

Poziom	q	Wartość
P50	−2·ln(0,5) = 2·ln2	1,386294
P90	−2·ln(0,1) = 2·ln10	4,605170

Przykład policzony do końca

Grupa pięciu strzałów na 100 m, współrzędne w milimetrach względem środka: (−17, −17), (−15, 18), (−2, −3), (9, −16), (18, 8).

Środek wypada w (−1,4; −2,0). Wariancje liczone z mianownikiem 4 dają σ²ₓ = 228,30 mm², σ²ᵧ = 230,50 mm², σₓᵧ = 2,75 mm². Rozrzut jest więc niemal identyczny w obu osiach i prawie nieskorelowany — większa wariancja własna wynosi 232,36 mm², mniejsza 226,44 mm².

Półoś P50 = √(232,36 × 1,386294) = 17,95 mm, czyli oś główna 35,9 mm. Druga półoś to √(226,44 × 1,386294) = 17,72 mm, więc oś boczna 35,4 mm. Tak właśnie pokazuje to aplikacja: 35,9 × 35,4 mm, czyli 1,23 × 1,22 MOA. Wydłużenie 1,01 : 1, kąt osi 55,9° — praktycznie koło, w którym kierunek jest przypadkowy.

Dlaczego elipsa, a nie okrąg

Bo grupa rzadko jest okrągła, a to, w którą stronę się rozlewa, jest informacją. Dwie grupy niżej mają dokładnie ten sam rozrzut maksymalny: 43,0 mm, czyli 1,48 MOA na 100 m.

Rozrzut maksymalny mówi o obu grupach to samo. Elipsa mówi o nich rzeczy przeciwne:

	Grupa okrągła	Grupa pionowa
Rozrzut maksymalny	43,0 mm	43,0 mm
Promień średni	17,3 mm	13,8 mm
Oś główna P50	35,9 mm	41,0 mm
Oś boczna P50	35,4 mm	6,0 mm
Wydłużenie	1,01 : 1	6,87 : 1
Kąt osi	55,9°	91,7°
Pole P50	999 mm²	193 mm²

Pole elipsy P50 grupy pionowej jest pięć razy mniejsze. Pod względem powierzchni, na której naprawdę siedzą trafienia, to grupa ciaśniejsza — mimo identycznego rozrzutu maksymalnego. A jej kształt wskazuje kierunek, w którym warto szukać przyczyny: rozrzut prędkości wylotowej, oddech, niestabilne oparcie kolby.

Dwie miary z poradnika o pomiarze skupienia nie potrafią tego powiedzieć. Rozrzut maksymalny widzi dwa strzały, promień średni widzi wszystkie, ale tylko jako odległości — kierunek gubi po drodze.

P90 jest zawsze 1,82 razy większe od P50

To nie jest cecha Twojej grupy. To cecha modelu.

Obie elipsy powstają z tej samej macierzy kowariancji i różnią się wyłącznie kwantylem. Stosunek osi jest więc stały:

√(4,605170 ÷ 1,386294) = 1,822616

a stosunek pól — dokładnie log₂10 = 3,321928. Zawsze, dla każdej grupy, dla każdej broni, na każdym dystansie.

Praktyczny wniosek jest taki: z porównania P90 do P50 nie dowiesz się niczego o swoim rozrzucie. Jeżeli szukasz odskoków, ta proporcja ich nie pokaże — pokaże tylko, że aplikacja poprawnie liczy. Odskok zobaczysz na samej tarczy albo po tym, jak rośnie pole obu elips naraz.

Wydłużenie i kąt osi też są wspólne dla P50 i P90 — mówi to wprost pomoc w aplikacji. Elipsy różnią się wyłącznie rozmiarem.

Czym P50 nie jest

Plan tego artykułu zakładał „promień P50”. W pointMoA nic takiego nie istnieje i warto wiedzieć, czym P50 różni się od pojęć, które można spotkać w innych narzędziach.

• To nie jest promień. Aplikacja podaje pełne osie: 35,9 mm to średnica elipsy od brzegu do brzegu, nie odległość od środka. Pomoc przy polu „Oś główna” mówi to wprost.
• To nie jest CEP. CEP (circular error probable) to promień okręgu obejmującego połowę trafień. Zakłada symetrię kołową, której grupa pionowa z przykładu wyżej nie ma. Elipsa nie zakłada niczego o kształcie — kształt wyznacza z danych.
• To nie jest percentyl policzonych odległości. Aplikacja nie sortuje trafień po odległości od środka i nie bierze mediany. Dopasowuje rozkład i liczy elipsę z jego parametrów. Różnica jest widoczna: przy trzech trafieniach elipsa P50 obejmuje wszystkie trzy, bo tak wychodzi z dopasowania.
• To nie jest rozrzut maksymalny ani promień średni. Dla rozkładu idealnie kołowego oś P50 jest równa 1,88 promienia średniego, ale ta proporcja trzyma się tylko dla rozkładu kołowego i w granicy wielu strzałów.

Ile trafień potrzeba

Aplikacja odmawia policzenia elipsy poniżej trzech trafień i oznacza wynik jako małą próbę od trzech do dziewięciu. Oba progi mają powód.

Poniżej trzech punktów dwuwymiarowa elipsa nie istnieje: dwa punkty zawsze leżą na jednej prostej, więc jedna z wariancji własnych jest zerowa i „elipsa” jest odcinkiem. Aplikacja zwraca wtedy brak wyniku, a nie elipsę o zerowej szerokości.

Trzy trafienia wystarczają formalnie, ale bywają równie bezużyteczne. Trzy przestrzeliny na jednej linii — rzecz najzupełniej możliwa — dają oś boczną równą zeru, pole zeru i wydłużenie, którego nie da się policzyć; aplikacja pokazuje wtedy kreskę.

Trzy trafienia mają jeszcze jedną własność, którą trzeba znać: elipsa P50 zawsze obejmuje wszystkie trzy. Nie dlatego, że grupa jest dobra — tak wychodzi z rachunku. Przekształcenie, które sprowadza rozrzut do postaci kołowej, zamienia dowolny trójkąt w równoboczny, więc wszystkie trzy trafienia lądują w tej samej odległości od środka; wynosi ona dokładnie 4/3 progu jednostkowego, podczas gdy granica P50 leży przy 1,3863. Komplet mieści się z zapasem 4% i nie zależy to od kształtu grupy.

Dla nowego, jeszcze nieoddanego strzału ta sama elipsa trafia w 19% przypadków, a nie w 50%.

Koło, które wygląda jak elipsa

Tu zaczyna się część, przez którą małą próbę warto traktować poważnie.

Poniższe cztery grupy pochodzą z rozkładu idealnie kołowego — jednego i tego samego, o odchyleniu 15 mm. Prawdziwa elipsa P50 tego rozkładu jest kołem o średnicy 35,3 mm.

Żadna z czterech nie wyszła kołem. Wydłużenia: 1,31 : 1, 2,02 : 1, 3,20 : 1 i 5,01 : 1. Kąty osi: 25°, 62°, 124° i 140° — cztery różne kierunki z tego samego rozkładu, w którym żaden kierunek nie jest wyróżniony.

Policzyliśmy to porządnie: 200 000 losowań dla każdej liczby strzałów, trafienia z dwuwymiarowego rozkładu normalnego bez żadnego wyróżnionego kierunku. Wynik nie zależy od kalibru ani dystansu, bo wyraża się w stosunkach.

Liczba trafień	Wydłużenie: mediana	95. centyl	Oś P50 względem prawdy (mediana)	Pasmo 10–90%
3	3,72 : 1	39,8 : 1	122%	68–187%
5	2,03 : 1	5,23 : 1	120%	82–164%
10	1,53 : 1	2,51 : 1	116%	90–144%
20	1,32 : 1	1,81 : 1	112%	94–131%
50	1,19 : 1	1,43 : 1	108%	97–120%

Czyta się to tak: przy pięciu strzałach z idealnie okrągłego rozkładu typowa elipsa i tak wygląda na dwa razy dłuższą niż szerszą, a co dwudziesta na ponad pięć razy. Dopiero przy pięćdziesięciu trafieniach mediana schodzi do 1,19 : 1 — i nadal nie do 1,00.

Ta sama tabela mówi też, ile warta jest sama wielkość elipsy. Przy pięciu strzałach oś główna P50 wypada typowo o 20% za duża, a w jednym przypadku na dziesięć przekracza 164% prawdy. Przy dwudziestu pasmo zwęża się do 94–131%.

Kąt osi to loteria

Jeżeli rozkład jest kołowy, kierunek osi głównej nie niesie żadnej informacji — i symulacja pokazuje to co do dziesiątej części procenta. Udział losowań, w których oś wypadła „pionowo” (90° ± 15°):

• przy 5 trafieniach: 16,8%
• przy 10 trafieniach: 16,6%
• przy 20 trafieniach: 16,8%

Czysty przypadek dałby 16,7%, bo przedział o szerokości 30° zajmuje jedną szóstą z 180°. Liczba trafień nic tu nie zmienia, bo w rozkładzie kołowym nie ma czego wykryć.

Nie znaczy to, że kąt jest bezużyteczny — znaczy, że kąt bez sprawdzenia, czy wydłużenie w ogóle wychodzi poza przypadek, jest bezużyteczny. Pomoc w aplikacji ujmuje to krótko: sam kąt nie diagnozuje techniki strzału.

Od jakiego wydłużenia można coś powiedzieć

Z tej samej symulacji wychodzi próg praktyczny. Jeżeli Twoja grupa ma wydłużenie powyżej 95. centyla rozkładu kołowego, to kształt raczej nie jest dziełem przypadku:

Liczba trafień	Próg „raczej nie przypadek” (95. centyl)	Próg ostrzejszy (99. centyl)
3	39,8 : 1	193 : 1
5	5,2 : 1	9,2 : 1
10	2,5 : 1	3,3 : 1
20	1,8 : 1	2,1 : 1
50	1,4 : 1	1,6 : 1

Przy trzech trafieniach progu praktycznie nie ma — żadne wydłużenie z pięciostrzałowego zakresu nie jest podejrzane, bo rozkład kołowy potrafi dać i czterdziestokrotne.

Wróćmy do grupy pionowej z przykładu: 6,87 : 1 przy pięciu strzałach. To powyżej progu 5,2 : 1, więc sygnał jest realny — ale niewielki. Rozkład idealnie kołowy daje taki kształt w 2,3% przypadków, czyli mniej więcej w jednej grupie na czterdzieści trzy. Przy dziesięciu trafieniach to samo wydłużenie byłoby już praktycznie rozstrzygające: 13 przypadków na 200 000.

Ile naprawdę mieści się w elipsie

Nazwy P50 i P90 opisują model, a nie zliczone trafienia. Różnica jest duża i rośnie, im mniejsza próba. Symulacja dla rozkładu kołowego:

Liczba trafień	P50 obejmuje trafienia z tej samej grupy	P50 obejmuje nowy strzał	P90 obejmuje nowy strzał
3	100,0%	18,9%	39,4%
5	43,3%	31,7%	63,6%
10	48,2%	40,8%	78,4%
20	49,3%	45,4%	84,6%
50	49,8%	48,1%	87,9%

Dwie rzeczy warto z tego wynieść.

Elipsa z małej próby jest zbyt optymistyczna wobec przyszłości. Przy pięciu strzałach elipsa nazwana P90 obejmuje nowy strzał w 64% przypadków, nie w 90%. Nie dlatego, że model jest zły — dlatego, że jest dopasowany do pięciu punktów i dziedziczy ich przypadkowość. Pomoc w aplikacji mówi to samo, tylko krócej: elipsy nie gwarantują wyniku następnej serii.

Zgodność „w tej samej grupie” myli. Przy trzech trafieniach P50 obejmuje komplet, co wygląda na rewelacyjny wynik, a jest tylko własnością algebry. Od dziesięciu wzwyż liczba zbiega do spodziewanych 50% i dopiero wtedy zaczyna coś znaczyć.

Jak czytać P50 w czasie

Elipsy nadają się do śledzenia postępów lepiej niż rozrzut maksymalny, bo używają wszystkich trafień. Trzy zasady, żeby porównanie było uczciwe:

1. Porównuj przy tej samej liczbie trafień. Oś P50 z pięciu strzałów jest typowo o 20% za duża, z pięćdziesięciu o 8%. Spadek osi między seriami o różnej liczbie strzałów może być samym efektem próby.
2. Porównuj na tym samym dystansie albo w MOA. Aplikacja podaje obie jednostki obok siebie; milimetry z 300 m i ze 100 m nie są tą samą liczbą. Przeliczanie opisuje artykuł o MOA skupienia.
3. Patrz na pole, nie tylko na oś główną. Pole łączy obie osie w jedną liczbę i nie daje się zmylić grupie, która skróciła się w pionie, a rozlała w poziomie.

Etykieta „Mała próba” przy wyniku nie jest ozdobą. Znaczy dokładnie tyle, że liczba pod nią pochodzi z zakresu, w którym zmienność bywa większa od różnicy, której szukasz.

Ograniczenia

• Model zakłada rozkład normalny. Trafienia z dwóch różnych ustawień broni albo z dwóch partii amunicji tworzą rozkład dwugarbny, którego jedna elipsa nie opisuje — pokaże go dopiero heatmapa, bo ona nie zakłada kształtu.
• Odskok wpływa na obie elipsy. Kwadraty odległości w wariancji ważą pojedynczy daleki strzał bardzo mocno. Aplikacja nie odrzuca odskoków automatycznie i słusznie — to decyzja strzelca, nie algorytmu.
• Elipsy nie mówią nic o przesunięciu. Opisują rozrzut wokół własnego środka, a nie odległość tego środka od punktu celowania. To osobna wielkość i osobny temat.
• Wyniku nie wolno łączyć między dystansami. Aplikacja pilnuje tego sama — tarcze bez podanego dystansu nie wchodzą do analizy rozrzutu.

Najważniejsze w pięciu zdaniach

• P50 i P90 to elipsy dopasowane do trafień, podawane jako pełne osie, nie promienie i nie CEP.
• P90 jest zawsze 1,82 razy większe od P50 co do osi i 3,32 razy co do pola — ta proporcja nie mówi nic o Twojej grupie.
• Elipsa widzi kształt i kierunek rozrzutu, czego nie potrafi ani rozrzut maksymalny, ani promień średni.
• Przy pięciu strzałach idealnie kołowy rozkład daje typowo elipsę 2 : 1, więc „pionowy rozrzut” z małej grupy bywa złudzeniem.
• Elipsa nazwana P90 obejmuje nowy strzał w 64% przypadków przy pięciu trafieniach i w 88% przy pięćdziesięciu.

Najczęstsze pytania

Czy P50 to to samo co CEP? Nie. CEP to promień okręgu i zakłada, że rozrzut jest kołowy. P50 w pointMoA to elipsa o dwóch osiach, wyznaczana z danych — przy rozkładzie dokładnie kołowym oba pojęcia zbiegają się co do pola, ale w każdym innym przypadku opisują co innego.

Czy 35,9 mm to promień, czy średnica? Średnica — pełna oś elipsy od brzegu do brzegu. Aplikacja podaje osie, a nie półosie, i pisze o tym w pomocy przy tym polu.

Dlaczego moja elipsa jest wydłużona, choć strzelam „równo”? Bo przy małej liczbie trafień wydłużona wychodzi prawie zawsze. Mediana dla pięciu strzałów z rozkładu bez żadnego wyróżnionego kierunku to 2,03 : 1. Zanim uznasz kształt za objaw, sprawdź go przy dziesięciu albo dwudziestu trafieniach.

Ile trafień potrzeba, żeby P50 miało sens? Trzy to minimum techniczne, dziesięć to granica, powyżej której aplikacja przestaje ostrzegać o małej próbie, a dwadzieścia to pierwsza liczba, przy której oś P50 mieści się w paśmie 94–131% wartości prawdziwej. Do porównań między amunicją celuj w dwadzieścia i więcej.

Czy P90 pokazuje odskoki? Nie bezpośrednio. P90 jest zawsze stałą wielokrotnością P50, więc odskok powiększa obie elipsy naraz, w tej samej proporcji. Odskok widać na tarczy i po nagłym wzroście pola obu elips względem poprzednich serii.

Czy elipsa P50 obejmuje połowę moich trafień? Zwykle mniej więcej, ale nie dokładnie i nie zawsze. Przy trzech trafieniach obejmuje wszystkie, przy pięciu średnio 43%, a przy pięćdziesięciu 49,8%. To dopasowanie modelu, a nie wynik zliczenia.

---

Włącz dodatkową analizę w dzienniku pointMoA, zaznacz co najmniej trzy trafienia i podaj dystans tarczy — aplikacja policzy osie, pole, wydłużenie i kąt obu elips, w milimetrach i w MOA, i sama oznaczy wynik, gdy próba jest za mała. Więcej o aplikacji.